(2011•廣東模擬)設(shè)α∈(0,
π
3
),β∈(
π
6
,
π
2
)
,且α,β滿足
5
3
sinα+5cosα=8
2
sinβ+
6
cosβ=2

(1)求cos(α+
π
6
)
的值.
(2)求cos(α+β)的值.
分析:(1)將等式5
3
sinα+5cosα=8左邊提取10,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出sin(α+
π
6
)的值,由α的范圍求出α+
π
6
的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡即可求出cos(α+
π
6
)的值;
(2)等式
2
sinβ+
6
cosβ=2左邊提取2
2
,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡,求出sin(β+
π
3
)的值,由β的范圍求出β+
π
3
的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos(β+
π
3
)的值,將所求式子利用誘導(dǎo)公式sin(
π
2
+θ)=cosθ變形,其中的角
π
2
+α+β變形為(α+
π
6
)+(β+
π
3
),利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后,將各自的值代入即可求出值.
解答:解:(1)∵5
3
sinα+5cosα=8,
∴10(
3
2
sinα+
1
2
cosα)=8,即sin(α+
π
6
)=
4
5
,(3分)
∵α∈(0,
π
3
),∴α+
π
6
∈(
π
6
,
π
2
),
∴cos(α+
π
6
)=
1-sin2(α+
π
6
)
=
3
5
;(4分)
(2)又∵
2
sinβ+
6
cosβ=2,
∴2
2
1
2
sinβ+
3
2
cosβ)=2,即sin(β+
π
3
)=
2
2
,(6分)
∵β∈(
π
6
π
2
),∴β+
π
3
∈(
π
2
,
6
),
∴cos(β+
π
3
)=-
2
2
,(7分)
∴cos(α+β)=sin[
π
2
+(α+β)]=sin[(α+
π
6
)+(β+
π
3
)]
=sin(α+
π
6
)cos(β+
π
3
)+cos(α+
π
6
)sin(β+
π
3

=
4
5
×(-
2
2
)+
3
5
×
2
2
=-
2
10
.(12分)
點評:此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,熟練掌握公式,靈活變換角度是解本題的關(guān)鍵,同時注意角度的范圍.本題中靈活運用角的變換的技巧達到了用已知表示未知,在求值題中,這是一個重要的經(jīng)驗!
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x2
2(x-1)

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1
an
)=1
,求證:-
1
an+1
ln
n+1
n
<-
1
an
;
(3)設(shè)bn=-
1
an
,Tn為數(shù)列 {bn} 的前n項和,求證:T2012-1<ln2012<T2011

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a-x
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x
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5
5

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1
x
)(y+
1
y
)
的最小值為
25
4
25
4

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