Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則=，根據(jù)x的取值范圍能夠得到的最大值和最小值．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l．由題意知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-5），再把直線y=k（x-5）和橢圓聯(lián)系方程用根的判別式求l的方程或說明理由．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，
設(shè)P（x，y），則=，
∵，
∴當(dāng) x=0時，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時，有最小值3；
當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時，有最大值4．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l．由題意知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-5）
由方程組，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
依題意．
當(dāng)時，設(shè)交點(diǎn)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)為R（x，y），
則，∴，
又|F₂C|=|F₂D|?F₂R⊥l?，∴，
∴20k²=20k²-4，而20k²=20k²-4不成立，所以不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|
綜上所述，不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度較大，解題時要仔細(xì)審題，認(rèn)真解答．