Question

2．已知P為拋物線y²=6x上一點，點P到直線l：3x-4y+26=0的距離為d₁．
（1）求d₁的最小值，并求此時點P的坐標(biāo)；
（2）若點P到拋物線的距離為d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$P（\frac{y_0^2}{6}，{y_0}）$，求出點P到直線l：3x-4y+26=0的距離為d₁，利用配方法求出最小值，可得此時點P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的焦點為F，則$F（\frac{3}{2}，0）$，且d₂=|PF|，d₁+d₂=d₁+|PF|，它的最小值為點F 到直線l 的距離．

解答 解：（1）設(shè)$P（\frac{y_0^2}{6}，{y_0}）$，則${d_1}=\frac{{|\frac{1}{2}y_0^2-4{y_0}+26|}}{5}=\frac{1}{10}|{（{y_0}-4）^2}+36|$，
當(dāng)y₀=4 時，（d₁）_min=3.6，此時${x_0}=\frac{y_0^2}{6}=\frac{8}{3}$，∴當(dāng)$P（\frac{8}{3}，4）$ 時，（d₁）_min=3.6．
（2）設(shè)拋物線的焦點為F，則$F（\frac{3}{2}，0）$，且d₂=|PF|，
∴d₁+d₂=d₁+|PF|，它的最小值為點F 到直線l 的距離$\frac{{|\frac{9}{2}+26|}}{5}=6.1$．
∴（d₁+d₂）_min=6.1．

點評 本題考查拋物線的方程與定義，考查點到直線的距離公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．