Question

某公司要將一批海鮮用汽車運(yùn)往A地，如果能按約定日期送到，則公司可獲得銷售收入30萬(wàn)元，每提前一天送到，可多獲得1萬(wàn)元，每遲到一天送到，將少獲得1萬(wàn)元．為保證海鮮新鮮，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且行駛路線只能選擇公路1或公路2中的一條，運(yùn)費(fèi)由公司承擔(dān)，其他信息如表所示．

（Ⅰ）記汽車走公路1時(shí)公司獲得的毛利潤(rùn)為ξ（萬(wàn)元），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）假設(shè)你是公司的決策者，你選擇哪條公路運(yùn)送海鮮有可能獲得的毛利潤(rùn)更多？
（注：毛利潤(rùn)=銷售收入-運(yùn)費(fèi)）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求走公路1時(shí)公司獲得的毛利潤(rùn)為ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．因?yàn)樵诓欢萝嚨臅r(shí)候毛利潤(rùn)為銷售收入減去運(yùn)費(fèi)，堵車的情況會(huì)推遲一天到達(dá)，故毛利潤(rùn)為銷售收入減去運(yùn)費(fèi)再減去少獲得得1萬(wàn)元．兩種利潤(rùn)是由堵車是否決定的，故概率為是否堵車的概率．根據(jù)分析即可求得分布列，然后根據(jù)期望公式求得即可．
（Ⅱ）求選擇哪條公路運(yùn)送海鮮有可能獲得的毛利潤(rùn)更多，可以同（Ⅰ）中的解法一樣先求出走公路2時(shí)獲得的毛利潤(rùn)為η的期望值，然后比較兩個(gè)期望值得大小，選擇較大的一個(gè)即是可能獲得的利潤(rùn)最多的情況．
解答：解：（1）汽車走公路1時(shí)，不堵車時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)ξ=30-1.6=28.4萬(wàn)元
堵車時(shí)蔬菜基地獲得的毛利潤(rùn)ξ=30-1.6-1=27.4萬(wàn)元
∴汽車走公路1是獲得的毛利潤(rùn)ξ的分布列為

∴Eξ=28.4×+27.4×=28.3萬(wàn)元．
（2）設(shè)汽車走公路2時(shí)獲得的毛利潤(rùn)為η
不堵車時(shí)獲得的毛利潤(rùn)η=30-0.8+1=30.2萬(wàn)元，
堵車時(shí)獲得的毛利潤(rùn)η=30-0.8-2=27.2萬(wàn)元，
∴汽車走公路2時(shí)獲得的毛利潤(rùn)ξ的分布列為

∴Eη=30.2×+27.2×=28.7萬(wàn)元
∵Eξ＜Eη．
故選擇公路2可能獲利更多．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布和期望在實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題．在此類選擇可能獲得利潤(rùn)最大的問(wèn)題中，一般都是通過(guò)求它們的利潤(rùn)的期望值做比較即可．對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力要求比較高．