如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,點M,N分別為A1B和B1C1的中點.
(1)證明:A1M⊥平面MAC;
(2)求三棱錐A-CMA1的體積;
(3)證明:MN∥平面A1ACC1

【答案】分析:(1)證法一:由題設(shè)知,AC⊥AA1,由∠BAC=90°,知AC⊥ABAA1,由AB?平面AA1BB1,知AC⊥平面AA1BB1,由此能夠證明A1M⊥平面MAC.
證法二:先證明△A1CB為等腰三角形,再由點M為A1B的中點,知A1M⊥MC,由此能夠證明A1M⊥平面MAC.
(2)由三棱錐A-CMA1的體積,能夠求出結(jié)果.
(3)證法一:連接AB1,AC1,得MN∥AC1,由此能夠證明MN∥平面A1ACC1
證法二:取A1B1中點P,連MP,NP,得MP∥AA1,由此能夠證明MN∥平面A1ACC1
解答:解:(1)證法一:由題設(shè)知,AC⊥AA1,
又∵∠BAC=90°∴AC⊥ABAA1,AB?平面AA1BB1,AA1∩AB=A,
∴AC⊥平面AA1BB1,…(1分)
A1M?平面AA1BB1∴A1M⊥AC.…(2分)
又∵四邊形AA1BB1為正方形,M為A1B的中點,
∴A1M⊥MA…(3分)
AC∩MA=A,AC?平面MAC,MA?平面MAC…(4分)
∴A1M⊥平面MAC…(5分)
證法二:在Rt△BAC中,
在Rt△A1AC中,
∴BC=A1C,
即△A1CB為等腰三角形.…(1分)
又點M為A1B的中點,∴A1M⊥MC.…(2分)
又∵四邊形AA1BB1為正方形,M為A1B的中點,
∴A1M⊥MA…(3分)AC∩MA=A,AC?平面MAC,MA?平面MAC…(4分)
∴A1M⊥平面MAC…(5分)
(2)由(1)的證明可得:
三棱錐A-CMA1的體積…(7分)=…(8分)
=.…(9分)
(3)證法一:連接AB1,AC1,…(10分)
由題意知,點M,N分別為AB1和B1C1的中點,∴MN∥AC1.…(11分)
又MN?平面A1ACC1,AC1?平面A1ACC1,…(13分)
∴MN∥平面A1ACC1.…(14分)
證法二:取A1B1中點P,連MP,NP,…(10分)
而M,P分別為AB1與A1B1的中點,
∴MP∥AA1,MP?平面A1ACC1,AA1?平面A1ACC1
∴MP∥平面A1ACC1,
同理可證NP∥平面A1ACC1…(11分)
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A1ACC1.…(12分)
∵MN?平面MNP,…(13分)
∴MN∥平面A1ACC1.…(14分)
點評:本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.
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A、3:2B、7:5C、8:5D、9:5

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如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1A=AC=2,BC=1,AB=
5
,則此三棱柱的側(cè)視圖的面積為(  )

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(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

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(2013•通州區(qū)一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=2
2
,CC1=4,M是棱CC1上一點.
(Ⅰ)求證:BC⊥AM;
(Ⅱ)若N是AB上一點,且
AN
AB
=
CM
CC1
,求證:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若CM=
5
2
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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E分別在線段B1C1上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4.
(1)求證:BC⊥AC1;
(2)試探究:在AC上是否存在點F,滿足EF∥平面A1ABB1,若存在,請指出點F的位置,并給出證明;若不存在,說明理由.

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