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證明：向量、、的終點A、B、C共線的充要條件是存在實數λ、μ且λ＋μ＝1，使得＝λ＋．

答案：
解析：

　　答案：解：①必要性：

　　若、、的終點A、B、C共線，則∥，

　　故存在實數m，使得＝m．

　　而＝－，＝－，

　　∴－＝m(－)，

　　∴＝－m＋(1＋m)．

　　令λ＝－m，μ＝＝1＋m，

　　則存在λ、μ且λ＋μ＝1，使得＝λ＋．

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　　若＝λ＋，其中λ＋μ＝1，則μ＝1－λ．

　　∴＝λ＋(1－λ)＝λ＋－λ，

　　∴－＝λ(－)．即＝λ．

　　∴A、B、C三點共線，即向量、、的終點在同一條直線上．

綜上所述，向量、、的終點A、B、C共線的充要條件是存在實數λ、μ，且λ＋μ＝1，使得＝λ＋μ．

　　分析：由A、B、C共線，可得∥，故存在實數m，使＝m．


提示：

向量共線定理的熟練運用很重要；向量的三角形法則、數形結合的思想方法務必要掌握好．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（上海春卷22）在平面上，給定非零向量
b
，對任意向量
a
，定義
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|b|
2
b
．
（1）若
a
=(2，3)，
b
=(-1，3)，求
a′
；
（2）若
b
=(2，1)，證明：若位置向量
a
的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量
a′
的終點也在一條直線上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•上海）在平面上，給定非零向量
b
，對任意向量
a
，定義
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
．
（1）若
a
=（2，3），
b
=（-1，3），求
a′
；
（2）若
b
=（2，1），證明：若位置向量
a
的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量
a′
的終點也在一條直線上；
（3）已知存在單位向量
b
，當位置向量
a
的終點在拋物線C：x2=y上時，位置向量
a′
終點總在拋物線C′：y2=x上，曲線C和C′關于直線l對稱，問直線l與向量
b
滿足什么關系？

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，向量
a
、
b
、
c
有公共起點，且滿足
c
=
λa
+
μb
（λ，μ∈R）．
證明三個向量的終點在一直線上的充要條件是λ+μ=1．

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科目：高中數學 來源：2010年上海市春季高考數學試卷（解析版） 題型：解答題

在平面上，給定非零向量，對任意向量，定義=-．
（1）若=（2，3），=（-1，3），求；
（2）若=（2，1），證明：若位置向量的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量的終點也在一條直線上；
（3）已知存在單位向量，當位置向量的終點在拋物線C：x2=y上時，位置向量終點總在拋物線C′：y2=x上，曲線C和C′關于直線l對稱，問直線l與向量滿足什么關系？

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