Question

四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=

2

，AB=AC．
（I）取CD的中點(diǎn)為F，AE的中點(diǎn)為G，證明：FG∥面ABC；
（II）證明：AD⊥CE．

Answer 1

分析：（I）取AB中點(diǎn)H，連接GH，CH，根據(jù)G是AE中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知HG∥=

1

2

BE，利用矩形BCDE可知BE∥=CD，同時F是CD中點(diǎn)，
進(jìn)而可以推斷出HG∥=CF，四個邊兩兩平行，進(jìn)而可推斷出四邊形FGHC是平行四邊形，進(jìn)而可知FG∥CH，最后利用線面平行定理推斷出FG∥面ABC；
（II）取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，DQ根據(jù)AC=AB，判斷出AQ⊥BC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出AQ⊥平面BCDE，進(jìn)而可知CE⊥AQ，根據(jù)，BC=2，CD=

2

，求得BE和CQ，得出

BC

CD

=

BE

CQ

判斷出Rt△CDQ∽Rt△BCE，進(jìn)而可推斷出∠DQC=∠CEB，可知∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°，推斷出CE⊥BQ利用AQ∩BQ=Q，推斷出CE⊥平面ADQ，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AD⊥CE．

解答：（I）證明：取AB中點(diǎn)H，連接GH，CH
因?yàn)镚是AE中點(diǎn)，所以HG∥=

1

2

BE，又因?yàn)榫匦蜝CDE，所以BE∥=CD，且F是CD中點(diǎn)，
所以HG∥=CF，所以四邊形FGHC是平行四邊形，所以FG∥CH，
又因?yàn)镕G?平面ABC，CH?平面ABC，所以FG∥面ABC；
（II）取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，DQ
因?yàn)锳C=AB，所以AQ⊥BC，
因?yàn)閭?cè)面ABC⊥底面BCDE，AQ?平面ABC，平面ABC∩平面BCDE=BC，
所以AQ⊥平面BCDE，
因?yàn)镃E?平面BCD，所以CE⊥AQ
又在矩形BCDE中，BC=2，CD=

2

，BE=

2

，CQ=1，所以

BC

CD

=

BE

CQ

=

2

所以Rt△CDQ∽Rt△BCE，所以∠DQC=∠CEB，
所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°，所以CE⊥DQ
因?yàn)锳Q∩BQ=Q，所以CE⊥平面ADQ，
AD?平面ADQ，所以AD⊥CE

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面的平行和垂直的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用線面平行和線面垂直判定定理．