Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=18，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和M_n；
（Ⅱ）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和T_n公式；
（III）記c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=6，a₅=18，
可得a₁+d=6，a₁+4d=18，
解得a₁=2，d=4．
從而a_n=4n-2，M_n=2n²
（Ⅱ）由，
令n=1，則，可得．
當(dāng)n≥2時(shí)，，，
兩式相減得．
可得．
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
可得，．…（8分）
（Ⅲ）由．
則．．
兩式相減得．
整理得
分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=6，a₅=18，可求首項(xiàng)及公差，進(jìn)而可求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和
（Ⅱ）由，令n=1，可求．當(dāng)n≥2時(shí)，由，可得，兩式相減得．即，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可求
（III）由（I）（II）可得，，故考慮利用錯(cuò)位相減求數(shù)列的和
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本量求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的和，及利用遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，本題的難點(diǎn)在于（III）的錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和