Question

已知數(shù)列{a_n}的每一項都是正數(shù)，滿足a₁=2，且a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0；等差數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，b₂=3，T₅=25．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）比較與2的大小；
（3）若＜c恒成立，求整數(shù)c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，進(jìn)而求得a_n+1=2a_n，數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得a_n，根據(jù)b₂=3，T₅=25．求得等差數(shù)列的首項和公差進(jìn)而求得b_n．
（2）由（1）得T_n，進(jìn)而求得，先看當(dāng)n=1時＜2，進(jìn)而利用＜=-利用裂項法求和，進(jìn)而求得++…+＜2-＜2．
（3）令P_n=++…+=+++…+．把（1）中求得的a_n和b_n代入P_n，利用錯位相減法求得P_n，進(jìn)而判斷P_n遞增，求得P_n的范圍，進(jìn)而求得c的最小值．
解答：解：（1）a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0
得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，
由于數(shù)列{a_n}的每一項都是正數(shù)，∴a_n+1=2a_n，∴a_n=2ⁿ．
設(shè)b_n=b₁+（n-1）d，由已知有b₁+d=3，5b₁+d=25，
解得b₁=1，d=2，∴b_n=2n-1．
（2）由（1）得T_n=n²，∴=，
當(dāng)n=1時，=1＜2．
當(dāng)n≥2時，＜=-．
∴++…+＜1+-+-++-=2-＜2．
（3）記P_n=++…+=+++…+．
∴P_n=++++，
兩式相減得P_n=3-．
∵P_n遞增，∴≤P_n＜3，P₄=＞2，
∴最小的整數(shù)c=3．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和問題．對于一些常用的數(shù)列的求和方法如公式法、錯位相減法、疊加法、裂項法等應(yīng)熟練掌握．