Question

已知方程 x3+a=

4

x

（1）當a=0時，求方程x3+a=

4

x

的各個實根；
（2）若方程x3+a=

4

x

的各個根x1，x 2，…，xk(k≤4)所對應的點(xi，

4

xi

)(i=1，2，…，k)均在直線y=x的同側，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=0代入方程得，x3=

4

x

，從而解得方程的根；
（2）由題意x3+a=

4

x

，設f(x)=x3+a，g(x)=

4

x

，利用函數圖象的特征解決問題，先對a進行分類討論：①當a=0時，點(

2

，2

2

)，(-

2

，-2

2

)的直線y=x的異側；②當a＜0時，要使f（x）=x³+a與g(x)=

4

x

的兩個交點在同直線y=x的右側得出關于a的不等關系；當a＞0時，要使f（x）=x³+a與g(x)=

4

x

的兩個交點在同直線y=x的左側
得出關于a的不等關系，最后解不等式組即可得出滿足條件的a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=0時，x3=

4

x

解得x1=

2

或x2=-

2

…（2分）
（2）x3+a=

4

x

，設f(x)=x3+a，g(x)=

4

x

，
函數g(x)=

4

x

與y=x的圖象相交于兩點（2，2），（-2，-2）
函數y=x³與y=x的圖象相交于兩點（1，1），（-1，-1）…（4分）
①當a=0時，點(

2

，2

2

)，(-

2

，-2

2

)的直線y=x的異側…（5分）
②當a＜0時，要使f（x）=x³+a與g(x)=

4

x

的兩個交點在同直線y=x的右側，
需滿足

4 2 ＞23+a 4 -2 ＞-23+a

解得a＜-6；…（8分）
當a＞0時，要使f（x）=x³+a與g(x)=

4

x

的兩個交點在同直線y=x的左側

需滿足

4 2 ＜23+a 4 -2 ＜-23+a

解得a＞6
所以滿足條件的a的取值范圍是（-∞，-6∪（6，+∞）…（10分）

點評：本小題主要考查根的存在性及根的個數判斷、方程式的解法等基礎知識，考查運算方程與函數的數學思想、分類討論的數學思想、數形結合思想．屬于基礎題．