Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當(dāng)x∈（-2，6）時(shí)，其值為正，而當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時(shí)，其值為負(fù)．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值及函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)F（x）=-$\frac{k}{4}$f（x）+1，如果F（x）的圖象與一次函數(shù)y=-kx-56有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求F（x）的圖象被x軸截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由韋達(dá)定理得到方程組，解出即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求出k的范圍，再設(shè)F（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出弦長(zhǎng)，從而求出其范圍．

解答 解：（1）由題意可知-2和6是方程f（x）=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a=-2+6=4}\\{\frac{2b{-a}^{3}}{a}=-2×6=-12}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-8}\end{array}\right.$．
∴此時(shí)a=-4，b=-8．
f（x）=-4x²+16x+48．
（2）F（x）=-$\frac{k}{4}$（-4x²+16x+48）+1=kx²-4kx-12k+1，
如果F（x）的圖象與一次函數(shù)y=-kx-56有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
顯然k≠0，則kx²-3kx-12k+57=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=9k²-4k（-12k+57）＞0，解得：k＞4或k＜0，
設(shè)F（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是：x₁，x₂，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=$\frac{-12k+1}{k}$，
則F（x）的圖象被x軸截得的弦長(zhǎng)d=|x₁-x₂|，
∴d=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{16+\frac{4（12k-1）}{k}}$=$\sqrt{64-\frac{4}{k}}$，
∵k＞4或k＜0，
∴當(dāng)k→∞時(shí)，d→8，
∴0＜d＜8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式，是一道中檔題．