Question

下列命題中，真命題是（ ）
A．?x∈R，sinx+cosx=1.5
B．?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
C．?x∈R，x²+x=-1
D．?x∈（0，π），sinx＞cos

Answer 1

【答案】分析：利用輔助角公式可將sinx+cosx化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的值域判斷A的真假，構(gòu)造函數(shù)y=e^x-x+1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出值域，可判斷B的真假，根據(jù)二次函數(shù)的值域，可判斷C的真假，構(gòu)造函數(shù)sinx-cosx進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的值域判斷D的真假．
解答：解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[-，]
∴A“?x∈R，sinx+cosx=1.5”為假命題；
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=e^x-x+1的導(dǎo)函數(shù)
y′=e^x-1＞0，故函數(shù)y=e^x-x+1在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增
∴y=e^x-x+1＞y|_x=0=2
即e^x＞x+1恒成立，故B“?x∈（0，+∞），e^x＞x+1”恒成立；
∵x²+x=（x+）²-≥-
∴C“?x∈R，x²+x=-1”為假命題；
∵當(dāng)x∈（0，），sinx＜cosx
∴D“?x∈（0，π），sinx＞cosx”為假命題；
故選B
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的值域，其中根據(jù)各種基本初等函數(shù)的值域，判斷四個答案的真假是解答本題的關(guān)鍵．