Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．

（1）求四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD；

（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）證明PO⊥平面ABCD，計(jì)算PO，AC，BD，代入體積公式計(jì)算；

（2）過(guò)C構(gòu)造平面BCE，使得平面BCE∥BDF，利用三角形的中線的性質(zhì)得出M的位置．

（1）解：∵底面ABCD是菱形，∴O為AC，BD的中點(diǎn)

又∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD，

∵AC∩BD=O，AC面ABCD，BD面ABCD，

∴PO⊥底面ABCD．

△PAC中，AC=2，∴，△PBD中，，，

．

（2）過(guò)C作CE∥BD交AB延長(zhǎng)線于E，過(guò)E作EH∥BF交PA于H，EH與PB交點(diǎn)為M，

∵CE∥BD，BD面BDF，CE面BDF，∴CE∥面BDF，

∵EH∥BF，BF面BDF，EH面BDF，∴EH∥面BDF，

又∵CE∩EH=E，CE面CEM，EH面CEM，

∴面BDF∥面CEM，CM面CEM，

∴CM∥面BDF，

∵BD∥CE，DC∥BE，

∴四邊形BECD為平行四邊形，∴DC=BE=AB，B為AE中點(diǎn)，

∵∴H為PA中點(diǎn)，

∴M為中線PB與中線EH的交點(diǎn)，

∴M是△APE的重心，∴=．