Question

【題目】已知函數(shù)，且．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：對(duì)問(wèn)題（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系并結(jié)合對(duì)參數(shù)的討論，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；對(duì)問(wèn)題（2）可以設(shè)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系并結(jié)合對(duì)實(shí)數(shù)的討論，即可求得恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，

即在上恒成立．

當(dāng)時(shí)，令得，

①若，則，解得；② 若，則，解得．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是

（2）令，則，

根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，恒成立．

所以，

①當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立，

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意

②當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立，

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意．

③當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒有，故在是減函數(shù)，

于是“對(duì)任意都成立”的充要條件 是，

即，解得，故

綜上，的取值范圍是