Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+(a-6)x+(4-2a)lnx，g（x）=-x²+2x+b
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，對?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在（0，m），（n，+∞）上單調(diào)遞增，在（m，n）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2代入f（x）后，對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，已經(jīng)知道f（x）的值域，題中對?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），對這問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化為：g（x）_max＜f（x）_min即可，利用配方法求出g（x）的最小值；
（Ⅲ）題中f（x）在（0，m），（n，+∞）上單調(diào)遞增，在（m，n）上單調(diào)遞減，可以推出m，n為f（x）的兩個極值點，再利用方程的系數(shù)與根的關(guān)系求出a的范圍；

解答：解：（Ⅰ）f（x）定義域為（0，+∞）
當(dāng)a=2時，f(x)=

1

3

x3-4x，f'（x）=x²-4，
令f'（x）=0
得x=2或x=-2（舍）

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

∴f（x）的遞減區(qū)間為（0，2），遞增區(qū)間為（2，+∞）
（Ⅱ）∵?x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）＞g（x₂）成立
∴g（x）_max＜f（x）_min
由（Ⅰ）知f(x)min=f(2)=-

16

3

g（x）=-（x-1）²+1+b
g（x）_max=g（1）=1+b
∴1+b＜-

16

3

∴b＜-

19

3

（Ⅲ）f′(x)=x2+(a-6)+

4-2a

x

=

x3+(a-6)x+4-2a

x

由條件知m，n恰為f'（x）=0的兩個不相等正根，
即x³+（a-6）x+4-2a=0恰有兩個不相等正根，
對于方程a（x-2）+x³-6x+4=0顯然x=2是方程的一個解，
當(dāng)x≠2時，a=-x²-2x+2=-（x+1）²+3（x＞0且x≠2）
當(dāng)x＞0時，-x²-2x+2＜2
當(dāng)x=2時，-x²-2x+2=-6
∴a＜2且a≠-6

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件，此題還涉及到了轉(zhuǎn)化的思想，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識；