Question

已知函數(shù)f(x)=ln

x-4

x-6

+

x

12

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間以及極值；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象是否為中心對稱圖形？如果是，請給出嚴格證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)f′(x)=

x(x-10)

12(x-4)(x-6)

，確定函數(shù)的定義域，由f′（x）＞0得函數(shù)的增區(qū)間，由f′（x）＜0得函數(shù)的減區(qū)間，從而可確定函數(shù)的極值；
（Ⅱ）f（x）圖象上取得極值的兩點的中點為(5，

5

12

)．再證明函數(shù)f（x）圖象關(guān)于此點對稱．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

x(x-10)

12(x-4)(x-6)

∵x∈（-∞，4）∪（6，+∞）
由f′（x）＞0得f（x）在區(qū)間（-∞，0]和[10，+∞）上遞增
由f′（x）＜0得f（x）在區(qū)間[0，4）和（6，10]上遞減
于是有[f(x)]極小值=f(0)=ln

2

3

；[f(x)]極大值=f(10)=ln

3

2

+

5

6

（Ⅱ）因為f（x）圖象上取得極值的兩點的中點為(5，

5

12

)．
下證，函數(shù)f（x）圖象關(guān)于此點對稱．     
設(shè)f（x）的定義域為D，?∈D，有：f(x)+f(10-x)=ln

x-4

x-6

+

x

12

+ln

6-x

4-x

+

10-x

12

=

5

6

所以，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(5，

5

12

)對稱．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的中心對稱，正確求導，利用函數(shù)的定義域是關(guān)鍵．