Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程的兩根，且a₁=1
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）設函數(shù)，若f（n）＞0對任意的n∈N^*都成立，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的兩實根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理變形可得數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）確定數(shù)列的同學，分組求和，可得結(jié)論；
（3）關(guān)鍵b_n=a_n•a_n+1，b_n-tS_n＞0，可得不等式，分類討論，可求t的取值范圍．
解答：（1）證明：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的兩實根，
∴a_n+a_n+1=2ⁿ，∴
∴
∴數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）解：∵a₁=1，∴
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=；
（3）解：∵b_n=a_n•a_n+1，∴
∵b_n-tS_n＞0，∴
∴當n為奇數(shù)時，，∵n為奇數(shù)，∴t＜1；
當n為偶數(shù)時，，∴
∴t＜對任意正偶數(shù)n都成立，∴t＜
綜上所述，t的取值范圍為t＜1．
點評：本題主要考查等比關(guān)系的確定、數(shù)列的求和、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．