已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+a
2x+1
是奇函數(shù),
(1)求a值,并判斷f(x)的單調(diào)性(不需證明);
(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(1)∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+a
2x+1
是奇函數(shù),
f(0)=
-1+a
2
=0
,
∴a=1,
f(x)=
1-2x
1+2x

經(jīng)驗(yàn)證,f(x)為奇函數(shù),
∴a=1,
函數(shù)f(x)為減函數(shù).
(2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k),
∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(t2-2t)<f(k-2t2),
由(1),f(x)是減函數(shù),
∴原問題轉(zhuǎn)化為t2-2t>k-2t2,
即3t2-2t-k>0對任意t∈R恒成立
∴△=4+12k<0,
k<-
1
3
即為所求.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
,
(1)證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù);
(2)若a=1,求證函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增;
(3)若函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx是R上的奇函數(shù),且f(1)=3,f(2)=12;
(1)求a,b,c的值;
(2)若(a-1)3+2a-4=0,(b-1)3+2b=0,求a+b的值;
(3)若關(guān)于x的不等式f(x2-4)+f(kx+2k)<0在(0,1)上恒成立,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=a-
1
|2x-b|
是偶函數(shù),a為實(shí)常數(shù).
(1)求b的值;
(2)當(dāng)a=1時,是否存在m,n(n>m>0)使得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],若存在,求出m,n的值,否則,說明理由;
(3)若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m,n](m<n),使得y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若函數(shù)y=f(x)在R上是偶函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=2x-x2,則當(dāng)x<0時,f(x)=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

定義在區(qū)間[-
2
3
π,π]上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,當(dāng)x∈[-
2
3
π,
π
6
]時,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其圖象如圖所示.

(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)在[-
2
3
π,π]的表達(dá)式;
(Ⅱ)求方程f(x)=
2
的解;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)m的值,使得|f(x)-m|<2在x∈[-
3
,π]上恒成立;若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2+(x-1)|x-a|.
(1)若a=-1,解方程f(x)=1;
(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得g(x)=f(x)-x|x|在R上是奇函數(shù)或是偶函數(shù)?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知實(shí)數(shù),函數(shù),若,則的值為     

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若函數(shù)f(x)=則f(f(10))=(  )
A.lg101B.2C.1D.0

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同步練習(xí)冊答案