已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，設(shè)兩曲線y＝f(x)，y＝g(x)有公共點，且在該點處的切線相同．

(1)用a表示b；

(2)求F(x)＝f(x)－g(x)的極值；

(3)求b的最大值．

解析　(1)設(shè)y＝f(x)與y＝g(x)的公共點為(x0，y0)．

∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由題意f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)．

即有

(2

則F′．

所以F(x)在(0，a)上為減函數(shù)，在(a，＋∞)上為增函數(shù)．

于是函數(shù)F(x)在x＝a時有極小值，

F(x)極小＝F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0，

F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)無極大值．

(3)由(1)知令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，

則h′(t)＝2t(1－3lnt)．

當(dāng)t(1－3lnt)>0，即，h′(t)>0；

當(dāng)t(1－3lnt)<0，即時，h′(t)<0.

故h(t)在()為增函數(shù)，在()為減函數(shù)．

于是h(t)在(0，＋∞)上的極大值即為最大值：.

即b的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），證明：若a≥
3
-1，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有
h(x2)-h(x1)
x2-x1
＞8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足①若x＞1，則f（x）＜0；②f(
12
)=1；③對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)f(x)=
1
1-x
+
2
x2-1
(0＜x＜1)
x+a   (x≥1)
，則實數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=
3x22
+ax，g（x）=4a2lnx+b，其中a＞0，設(shè)兩曲線x=f（x）與f=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同．
（I）若a=1，求兩曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點處的切線方程；
（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值．

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