已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點,且在該點處的切線相同.
(1)用a表示b;
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的極值;
(3)求b的最大值.
解析 (1)設(shè)y=f(x)與y=g(x)的公共點為(x0,y0).
∵f′(x)=x+2a,g′(x)=,由題意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0).
即有
(2
則F′.
所以F(x)在(0,a)上為減函數(shù),在(a,+∞)上為增函數(shù).
于是函數(shù)F(x)在x=a時有極小值,
F(x)極小=F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0,
F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x>0)無極大值.
(3)由(1)知令h(t)=t2-3t2lnt(t>0),
則h′(t)=2t(1-3lnt).
當(dāng)t(1-3lnt)>0,即,h′(t)>0;
當(dāng)t(1-3lnt)<0,即時,h′(t)<0.
故h(t)在()為增函數(shù),在()為減函數(shù).
于是h(t)在(0,+∞)上的極大值即為最大值:.
即b的最大值為.
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3 |
h(x2)-h(x1) |
x2-x1 |
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1 | 2 |
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3x2 | 2 |
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