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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A,B分別為左頂點和上頂點,F為右焦點,過F作x軸的垂線交橢圓于點C,且直線AB與直線OC平行.
(1)求橢圓的離心率;
(2)已知定點M(3,0),P為橢圓上的動點,若△OMP的重心軌跡經過點(1,1),求橢圓的方程.
分析:(1)首先根據A、B的坐標,得到直線AB的斜率kAB=
b
a
,再根據F是橢圓的焦點且CF⊥x軸,結合橢圓方程得到點C坐標(c,
b2
a
),于是直線OC的斜率為kOC=
b2
ac
.最后根據直線AB與直線OC平行,利用斜率相等可得b=c,即可求得橢圓的離心率;
(2)由(1),可設橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1
,動點P的坐標為(x0,y0),△OMP重心G的坐標為(x,y),據三角形重心坐標公式結合坐標轉移的方法,可得點G的軌跡方程,因為G的軌跡經過點(1,1),所以將點(1,1)代入所求出的軌跡方程,即可得b2=9,從而得到橢圓的方程.
解答:解:(1)∵A(-a,0),B(0,b),∴直線AB的斜率kAB=
b
a
,
∵CF⊥x軸,∴將x=c代入橢圓方程得
y2
b2
=1-
c2
a2
=
b2
a2
,y=±
b2
a
(2分)
得點C坐標為(c,
b2
a
,于是OC的斜率為kOC=
b2
a
c
=
b2
ac

∵直線AB與直線OC平行,
∴kAB=kOC,即
b
a
=
b2
ac
,可得b=c(4分)
∴橢圓的離心率e=
c
a
=
c
b2+c2
=
c
c2+c2
=
2
2
(6分)
(2)由(1),可設橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1
,(b>0)
設動點P的坐標為(x0,y0),△OMP重心G的坐標為(x,y),據三角形重心坐標公式可得
x=
x0+3
3
y=
y0
3
x0=3x-3
y0=3y
,得點P(3x-3,3y)(8分)
∵點P在橢圓
x2
2b2
+
y2
b2
=1
上,
(3x-3)2
2b2
+
9y2
b2
=1
,此為點G的軌跡方程(10分)
∵G的軌跡經過點(1,1),
∴b2=9,得到橢圓的方程為:
x2
18
+
y2
9
=1
(12分)
點評:本題給出橢圓中兩條線段互相平行,求橢圓的離心率,并在已知三角形重心坐標的情況下求橢圓的方程,著重考查了三角形重心公式、橢圓的基本概念和軌跡方程求法等知識點,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點分別為F1,F2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經過點M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內心的橫坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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