Question

已知△ABC頂點(diǎn)B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），點(diǎn)A滿足sinC-sinB=

1

2

sinA，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（　�。�

• A、

  16

  a2

  x2-

  16

  3a2

  y2=1
• B、

  16

  3a2

  x2-

  16

  a2

  y2=1
• C、

  16

  a2

  x2-

  16

  3a2

  y2=1(x＞

  a

  4

  )
• D、

  16

  3a2

  x2-

  16

  a2

  y2=1(x＞

  3 a

  4

  )

Answer 1

分析：利用正弦定理可得A是以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（除去三點(diǎn)共線情況），根據(jù)△ABC頂點(diǎn)B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），可得頂點(diǎn)A的軌跡方程．

解答：解：∵點(diǎn)A滿足sinC-sinB=

1

2

sinA，∴由正弦定理可得AB-AC=

1

2

BC，
∴A是以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（除去三點(diǎn)共線情況），
∵△ABC頂點(diǎn)B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），
∴頂點(diǎn)A的軌跡方程是

16

a2

x2-

16

3a2

y2=1（x＞

a

4

），
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．