Question

 

學(xué)習(xí)三角函數(shù)一章時(shí)，課堂上老師給出這樣一個(gè)結(jié)論:當(dāng)時(shí)，有恒成立，當(dāng)老師把這個(gè)證明完成時(shí)，

(Ⅰ) 學(xué)生甲提出問題：能否在不等式的左邊增加一個(gè)量，使不等號(hào)的方向得以改變？

下面請(qǐng)同學(xué)們證明：若，則 成立。

(Ⅱ) 當(dāng)學(xué)生甲的問題完成時(shí)，學(xué)生乙提問：對(duì)于不等式是否也有相似的結(jié)論？

下面請(qǐng)同學(xué)們探討：若，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立?如果存在,求出的一個(gè)值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解: (Ⅰ)證明:設(shè),則 ……………………………1

           設(shè),則

           故當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,

且曲線在處連續(xù)不斷而,……………………………5

所以, 當(dāng)時(shí), .

故當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,

且曲線在處連續(xù)不斷而,

所以, 當(dāng)時(shí), .即原不等式得證. ……………………………9

       (Ⅱ)不存在.解析如下:

           設(shè),

①  若,由結(jié)論可知, ;……………………………10

②  若,當(dāng)趨近于時(shí),接近于某一個(gè)常數(shù),而趨近于,不可能

使恒成立.

綜上所述, 不存在實(shí)數(shù)使恒成立. ……………………………12