Question

如圖，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿足FC⊥平面BED，F(xiàn)B=a
（1）證明：EB⊥FD
（2）求點(diǎn)B到平面FED的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證EB⊥FD，而FD?平面BFD，可先證BE⊥平面BFD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BE與平面BFD內(nèi)兩相交直線垂直，而BE⊥AC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知FC⊥BE，又FC、AC?平面BFD，F(xiàn)C∩AC=C，滿足定理所需條件；
（2）利用勾股定理求出FC，根據(jù)直角三角形的面積公式求出S_△EBD與S_△EFD，根據(jù)等體積法可得S_△EBD•FC=S_△EFD•h建立方程解之即可求出點(diǎn)B到平面FED的距離．
解答：解：（1）證明：∵點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)
∴∠ABE=，即BE⊥AC
又∵FC⊥平面BED，BE?平面BED
∴FC⊥BE
又∵FC、AC?平面BFD，F(xiàn)C∩AC=C
∴BE⊥平面BFD而FD?平面BFD
∴EB⊥FD
（2）FC===2a
S_△EBD=BE•BD=
在Rt△FBE中，EF=
而FD=ED=
∴S_△FED=FE•H_EF=••=
由等體積法可知：
S_△EBD•FC=S_△FED•h
解得：h=
即點(diǎn)B到平面FED的距離為
點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、以及點(diǎn)到平面的距離的度量和等體積法的應(yīng)用等有關(guān)知識，同時考查了推理能力、計算能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．