Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為離心率為，兩準(zhǔn)線(xiàn)之間的距離為8,點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(1)由橢圓的離心率公式求得,由橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程,則，即可求得和的值，則，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得直線(xiàn)的斜率及直線(xiàn)的斜率，則可求得及的斜率及方程，聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，由滿(mǎn)足橢圓方程，求得，結(jié)合在橢圓E上，聯(lián)立即可求得點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c．因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線(xiàn)之間的距離為8，所以，，解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

（2）由（1）知，，．設(shè)，因?yàn)?/span>為第一象

限的點(diǎn)，故．當(dāng)時(shí)，與相交于，與題設(shè)不符．

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為， 直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，

從而直線(xiàn)的方程，① 直線(xiàn)的方程，②

由①②，解得，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對(duì)稱(chēng)性，得，即或．又在橢圓E上，故．

由，解得；，無(wú)解．因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.