Question

在△ABC中，向量

OA

=(acos2C， 1)， 

OB

=(2， 

3

asin2C-a)，f(C)=

OA

•

OB

，a≠0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（C）解析式，并求f（C）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若△ABC是鈍角三角形，且a＞0時，f（C）的最小值為-5，求a的值．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面微量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的性質(zhì)，
（1）由向量

OA

=(acos2C， 1)， 

OB

=(2， 

3

asin2C-a)，f(C)=

OA

•

OB

，我們根據(jù)向量的數(shù)量積運算法則，結(jié)合輔助角公式，不難給出函數(shù)f（C）解析式，然后對參數(shù)a進行分類討論，可求f（C）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由△ABC是鈍角三角形，且a＞0，則C∈(

π

2

，π)分析函數(shù)f（C）的性質(zhì)，易得當2C+

π

6

=

3π

2

時，函數(shù)f（C）有最小值，代入即可求出a值．

解答：解：（Ⅰ）f(C)=2acos2C+

3

asin2C-a=

3

asin2C+acos2C=2asin(2C+

π

6

)．
∵0＜C＜π，
∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13π

6

．
若a＞0，
當

π

6

＜2C+

π

6

≤

π

2

時，即0＜C≤

π

6

時，
f（C）為增函數(shù)，f（C）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

π

6

]；
當

π

2

＜2C+

π

6

＜

13π

6

時，即

π

6

＜C＜π時，
f（C）為減函數(shù)，f（C）的單調(diào)遞減區(qū)間是(

π

6

，π)．
若a＜0，
當

π

6

＜2C+

π

6

≤

π

2

時，即0＜C≤

π

6

時，
f（C）為減函數(shù)，f（C）的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

π

6

]；
當

π

2

＜2C+

π

6

＜

13π

6

時，即

π

6

＜C＜π時，
f（C）為增函數(shù)，f（C）的單調(diào)遞增區(qū)間是(

π

6

，π)．
（Ⅱ）f(C)=2asin(2C+

π

6

)，
當C∈(

π

2

，π)時，
2C+

π

6

∈(

7π

6

，2π)．
當2C+

π

6

=

3π

2

時，
f（C）最小值為-2a=-5，
則a=

5

2

點評：處理三角函數(shù)與平面向量的綜合題，通常利用向量的數(shù)量積等知識，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來處理．考查綜合能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及分析問題和解決問題的能力．解決本題的關(guān)鍵是，利用兩個向量的數(shù)量積的坐標形式，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來處理．