Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx-3，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)b，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上有最大值M（b）和最小值m（b），記g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）的解析式；
（2）問b為何值時(shí)，g（b）有最小值？并求出g（b）的最小值．

Answer 1

解：（1），拋物線開口向上，其對(duì)稱軸方程為，下面就對(duì)稱軸與區(qū)間[b-2，b+2]端點(diǎn)的相對(duì)位置分段討論：
①當(dāng)時(shí)，且，
此時(shí)M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，．．
②當(dāng)時(shí)，且，
此時(shí)M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，．．
③當(dāng)時(shí)，，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞增，
此時(shí)M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b²-6b+1．g（b）=12b．
④當(dāng)時(shí)，，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞減，
此時(shí)M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m（b）=f（b+2）=2b²+6b+1．g（b）=-12b．
綜上所得
（2）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，遞減，g（b）＞g（0）=4；
當(dāng)時(shí)，遞增，g（b）≥g（0）=4；
當(dāng)時(shí)，．
綜上所述，當(dāng)b=0時(shí)，[g（b）]_min=4．
分析：（1）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出對(duì)于對(duì)稱軸所在的區(qū)間不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值、最小值，即可求得函數(shù)g（b）的解析式；
（2）根據(jù)（1）求得的結(jié)果，利用二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，以及分段函數(shù)求最值的方法即可求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題看出二次函數(shù)的性質(zhì)，針對(duì)于函數(shù)的對(duì)稱軸是一個(gè)變化的值，需要對(duì)對(duì)稱軸所在的區(qū)間進(jìn)行討論，本題是一個(gè)綜合題目，是一個(gè)易錯(cuò)題．屬中檔題．