Question

已知2^x≤（

1

4

）^x-3．
（1）求此不等式的解集
（2）求函數(shù)y=ax2-6x（a＞0，且a≠1）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的值域

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由2^x≤（

1

4

）^x-3 可得 2^x≤2^6-2x，由此求得不等式的解集．
（2）對(duì)于函數(shù)y=ax2-6x，令t=x²-6x=（x-3）²-9，求得t的范圍，再根據(jù)y=a^t，分當(dāng)a＞1時(shí)和當(dāng)0＜a＜1時(shí)兩種情況，分別根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求的函數(shù)y的值域．

解答： 解：（1）由2^x≤（

1

4

）^x-3 可得 2^x≤2^6-2x，∴x≤6-2x，即 x≤2，
故不等式的解集為 {x|x≤2}．
（2）對(duì)于函數(shù)y=ax2-6x，令t=x²-6x=（x-3）²-9，∵x≤2，∴t≥-8，
再根據(jù)y=a^t，當(dāng)a＞1時(shí)，值域?yàn)閧y|y≥a^-8}；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，值域?yàn)閧y|0＜y≤a^-8}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，街指數(shù)不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．