Question

已知函數(shù)y=-sin²x-acosx+2，是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)的最小值為-2，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,余弦函數(shù)的定義域和值域

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：函數(shù)y=（cosx-

a

2

）²+1-

a2

4

，再分當(dāng)

a

2

≤-1、當(dāng)-1＜

a

2

＜1時(shí)、當(dāng)

a

2

≥1時(shí)三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最小值，再根據(jù)y的最小值為-2，求得a的值．

解答： 解：∵y=cos²x-acosx+1=（cosx-

a

2

）²+1-

a2

4

當(dāng)

a

2

≤-1，即a≤-2時(shí)，則當(dāng)cosx=-1時(shí)，y_min=2+a=-2，
∴a=-4．
當(dāng)-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2時(shí)，y_min=1-

a2

4

=-2  得a²=12（舍）．
當(dāng)

a

2

≥1，即a≥2時(shí)，cosx=1時(shí)，y_min=2-a=-2，
∴a=4．
綜上，存在a=-4或a=4時(shí)，函數(shù)的最小值為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．