Question

【題目】在三棱錐中， 和是邊長(zhǎng)為的等邊三角形， ， 是中點(diǎn)， 是中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)在上的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）在棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處．

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接， ， 中， 為中點(diǎn)，易得，同理可得： ，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，以方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解線面角的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)得再求得平面的一個(gè)法向量為和面的一個(gè)法向量為，利用向量的夾角公式，求解的值，從而確定點(diǎn)的位置．

試題解析：（Ⅰ）證明：連接， ， 中， 為中點(diǎn)，易得且．

同理可得： ， ，又∵，∴，

∴，又∵，∴平面，又∵平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，以方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

得， ， ， ， ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有， ，

，設(shè)直線與面所成的角為，

則．

（Ⅲ）設(shè)在棱上存在點(diǎn)，設(shè)

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則有，且，取， ， ，

∴，

∵平面，

∴設(shè)面的一個(gè)法向量為．

設(shè)面與面所成二面角為，

，

解得： 或（舍），∴．　

所以存在點(diǎn)且當(dāng)在棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，滿(mǎn)足題意．