已知函數(shù)f(x)=(x2﹣3x+3)ex,x∈[﹣2,t](t>﹣2)
(1)當(dāng)t<l時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)比較f(﹣2)與f (t)的大小,并加以證明;
(3)當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間,設(shè)g(x)=f(x)+(x﹣2)ex,試問函數(shù)g(x)在(1,+∞)上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)∵f(x)=(x2﹣3x+3)ex,x∈[﹣2,t](t>﹣2),
∴f′(x)=(2x﹣3)ex+ex(x2﹣3x+3)=exx(x﹣1).
①當(dāng)﹣2<t≤0時,x∈(﹣2,t),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
②當(dāng)0<t<1時,x∈(﹣2,0),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
x∈(0,t),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)﹣2<t≤0時,y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣2,t);
當(dāng)0<t<1時,y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣2,0),減區(qū)間為(0,t).
(Ⅱ)f(t)>f(﹣2).
證明:令m=f(﹣2),n=f(t),則m=13e﹣2,n=(t2﹣3t+3)et,
設(shè)h(t)=n﹣m=(t2﹣3t+3)et﹣13e﹣2,
∴h′(t)=(2t﹣3)et+et(t2﹣3t+3)
=ett(t﹣1),(t>﹣2).
h(t),h′(t)隨t變化如下表:
由上表知h(t)的極小值為h(1)=e﹣=>0.
又h(﹣2)=0,
∴當(dāng)t>﹣2時,h(t)>h(﹣2)>0,即h(t)>0.
因此,n﹣m>0,即n>m,
所以f(t)>f(﹣2).
φ(x),φ′(x)隨x的變化如下表:
由上表知,φ(x0)<φ(1)=﹣1<0,
φ(2)=e2﹣2>0,
故y=φ(x)的大致圖象如圖,
因此φ(x)在(1,+∞)只能有一個零點,
這與φ(x)=0有兩個大于1的不等根矛盾,
故不存在區(qū)間[a,b]滿足題意,即函數(shù)g(x)不存在保值區(qū)間.
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π |
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π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 |
x |
m |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 |
f(n) |
A、
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B、
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C、
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D、
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