【題目】在邊長都是正整數(shù)的三角形中，周長是2009的三角形與周長是2012的三角形哪一種的個數(shù)多?說明理由．

【答案】一樣多

【解析】

兩種三角形的個數(shù)相等．

設(shè)正整數(shù)是周長為2009的三角形邊長．則正整數(shù)是周長為2012的三角形邊長．這樣的三角形存在，因?yàn)橛?/span>，即每個周長為2009的三角形都有周長為2012的三角形與之對應(yīng)．

下面證明：每個周長為2012的三角形都有周長為2009的三角形與之對應(yīng)．

設(shè)是周長為2012的三角形邊長．

（1）其所有邊長大于1．

事實(shí)上，三角形的每條邊大于另兩邊的差，若某邊長為1，則另外兩條邊應(yīng)當(dāng)是彼此

相等的，并且在這種情形下三角形的周長是奇數(shù)．

（2）．

由此得．當(dāng)?shù)仁匠闪r，得（奇數(shù)），它等于2012，這意味著數(shù)中兩個較小數(shù)的和大于第三個，且這些數(shù)是某個三角形的三邊長．

故周長是2009的三角形與周長是2012的三角形的個數(shù)一樣多．

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