Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8．若?x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A、（-∞，5]
• B、[5，+∞）
• C、(-

  1

  3

  ，+∞)
• D、(-∞，-

  1

  3

  )

Answer 1

分析：由題意知此題為恒成立問題，要求?x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），首先構(gòu)造函數(shù)H（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)求H（x）在[0，+∞）上的最小值，因?yàn)閮蓚�極值點(diǎn)大小沒法判斷，于是要進(jìn)行分類討論，所求最小值含有a，只要令H_min（x）＞0，解出a的范圍即可．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
只要證明H（x）在[0，+∞）上的最小值大于等于0即可；
H′（x）=3x²+2（2-a）x=x（3x+4-2a），令H′（x）=0得，
x₁=0，x₂=

2a-4

3

，
①若a＞2時，x₂＞0；當(dāng)0＜x＜x₂時，H′（x）＜0，H（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞x₂時，H′（x）＞0，H（x）為增函數(shù)；
H（x）在x=x₂處取極小值，也是最小值，H_min（x₂）=H（

2a-4

3

）=

(2a-4)3

27

+(2-a)×

(2a-4)2

9

+4，
令H_min（x₂）≥0，解得a≤5，綜上2＜a≤5；
②若a≤2時，x₂＜0；當(dāng)x≥0時，H′（x）＞0，H（x）為增函數(shù)；
H（x）在x=0處取極小值，也是最小值，H_min（x₂）=H（0）=4＞0，恒成立；
∴a≤2，
綜上①②得a≤5．
故選A．

點(diǎn)評：解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)H（x），將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求導(dǎo)求最值問題，是解此題的一般思路，另外此題還用到分類討論的思想．