(1)如圖,在Rt△ABC中,AB=BC,E、F分別是AC和AB的中點(diǎn),以EF為棱把它折成大小為β的二面角A-EF-B,設(shè)∠AEC=α.求證:cosα=(cosβ-1).

(2)Rt△ABC的兩直角邊AC=2,BC=3,P為斜邊AB上一點(diǎn).現(xiàn)沿CP將直角三角形折成直二面角A-PC-B,當(dāng)AB=時(shí),求二面角P-AC-B的大小.

(1)證明:設(shè)AF=FB=a,∴AE=EC=a,BC=2a.?

∵EF⊥AF,EF⊥FB,∴∠AFB=β,EF⊥面AFB.?

∴EF⊥AB.

∵EF∥BC,∴AB⊥BC.?

∴AB2=AC2-BC2.?

∵AB2=2a2(1-cosβ),?

AC2=2(α)2(1-cosα),BC2=4a2,?

∴代入得cosα=(cosβ-1).?

(2)解析：如圖，過A作AM⊥PC于M,過B作BN⊥PC,設(shè)∠ACP=θ,∴AM=2sinθ,CN=3sinθ,BN=3cosθ.過B作BE1∥MN,過M作ME⊥BE1于E,連結(jié)AE.?

∵APCB為直二面角,?

∴BN⊥面ACP.?

∴△ACN為△ACB在面ACP上的射影.?

∵∠AME=90°,?

又∵ME⊥BE1,BE1∥MN,BN⊥MN,∴MEBN為矩形.?

∴ME=BN=3cosθ.?

∴AE2=4sin2θ+9cos2θ=4+5cos2θ.?

∵AM⊥EB,ME⊥EB,?

∴EB⊥面AME.∴EB⊥AE.?

∴AB2=AE2+EB2.?

∴7=4+5cos2θ+(3sinθ-2cosθ)2.?

∴sin2θ=1,θ=45°.?

∴S△CAN =AM×CN=3sin2θ=，S△ACB?=×BC×hBC=×3×=.?

設(shè)P-AC-B大小為β，?

∴cosβ=.?

∴β=arccos=arctan.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

16、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線交BC于D，E為AB上一點(diǎn)，DE=DC，以D為圓心，以DB的長(zhǎng)為半徑畫圓．
求證：（1）AC是⊙D的切線；（2）AB+EB=AC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE=4；將△BCD沿CD折起，如圖②，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥平面BCD；
（2）在線段DE上是否存在一點(diǎn)G，使FG∥平面BDC？若存在，求出點(diǎn)G的位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BBl∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；
（3）以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．
①當(dāng)t＞
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時(shí)，連接C′C，設(shè)四邊形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)線段A′C′與射線BB，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在Rt△PAQ中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，∠PAQ=90°，在AQ的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使|AQ|=|MQ|．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E；
（2）直線l：y=kx-1與軌跡E交于B、C兩點(diǎn)，已知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)∠BFC為鈍角時(shí)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在 Rt△AOB中，∠OAB=
π6
，斜邊AB=4，D是AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將 Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐體，點(diǎn)C為圓錐體底面圓周上的一點(diǎn)，且∠BOC=90°．
（1）求異面直線AO與CD所成角的大��；
（2）若某動(dòng)點(diǎn)在圓錐體側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，試求該動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)C出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所經(jīng)過的最短距離．

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同步練習(xí)冊(cè)答案