Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x³．
（1）求f（x）在[1，5]上的表達(dá)式；
（2）若A={x|f（x）＞a，x∈R}，且A≠ф，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x+2）=-f（x）可推知函數(shù)為周期函數(shù)周期為4，再利用周期性求得f（x）在[1，3]和[3，5]的解析式．
（2）根據(jù)f（x）的周期函數(shù)，從一個(gè)周期來(lái)考慮f（x）的值域．根據(jù)（1）中f（x）的解析式求得函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而求出a的范圍．
解答：解：（1）由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）的周期為4
（1）當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，x-4∈（-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）³
又T=4，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，3≤x≤5
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x-2∈[-1，1]，
∴f（x-2）=（x-2）³
又f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³，1≤x≤3，
故f（x）=
（2）∵f（x）的周期函數(shù)，
∴f（x）的值域可以從一個(gè)周期來(lái)考慮
x∈[1，3]時(shí)，f（x）∈（-1，1]
x∈[3，5]時(shí)，f（x）∈[-1，1]
∴f（x）＞a，對(duì)x∈R有空解，
∴a＜1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性．解題的關(guān)鍵是求出f（x）在不同區(qū)間上的解析式．