Question

已知：四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1．
（Ⅰ）求證：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若E、F分別為PB、AD的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證BC∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BC與平面PAD內(nèi)一直線平行，而BC∥AD，AD?平面PAD，BC?平面PAD，滿足定理所需的條件；
（Ⅱ）欲證EF⊥平面PBC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證EF與平面PBC內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BC⊥EF，根據(jù)等腰三角形可知EF⊥PC，PC∩BC=C，滿足定理所需的條件；
（Ⅲ）設(shè)PA的中點(diǎn)為M，連接MC，MC⊥PA，ME⊥PA，則∠EMC為所求二面角的平面角，在△MEC中，求出三邊，然后利用余弦定理進(jìn)行求解即可．
解答：（Ⅰ）解：因?yàn)锳BCD是正方形，所以BC∥AD．
因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，
所以BC∥平面PAD．（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，
且ABCD是正方形，所以PC⊥BC．
設(shè)BC的中點(diǎn)為G，
連接EG，F(xiàn)G，則EG∥PC，F(xiàn)G∥DC．
所以BC⊥EG，BC⊥FG．
因?yàn)镋G∩FG=G，所以BC⊥面EFG．因?yàn)镋F?面EFG，
所以BC⊥EF．①（6分）
又設(shè)PC的中點(diǎn)為H，且E為PB中點(diǎn)，連接DH，
所以EHBC．又BCAD，且EHAD．
所以四邊形EHDF是平行四邊形．
所以EF∥DH．
因?yàn)榈妊�直角△PDC中，H為底邊PC的中點(diǎn)，
所以DH⊥PC，即EF⊥PC．②
因?yàn)镻C∩BC=C，③
由①②③知EF⊥平面PBC．（8分）
（②的證明也可以通過連接PF、FB，由△PFB為等腰三角形證明）
（Ⅲ）解：設(shè)PA的中點(diǎn)為M，連接MC，
依條件可知△PAC中PC=AC，
所以MC⊥PA．①
又PD⊥平面ABCD，∠BAD=90°，
所以AB⊥PA．
因?yàn)镸、E均為中點(diǎn)，
所以ME∥AB．
所以ME⊥PA．②
由①②知∠EMC為所求二面角的平面角．（11分）
連接EC，在△MEC中，容易求出ME=，MC=，EC=．
所以cos∠EMC==，即所求二面角的余弦值是．（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定和二面角的度量，二面角的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．