Question

用定義證明：函數f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是減函數．

Answer 1

【答案】分析：利用定義判斷函數的單調性，先設在所給區(qū)間上有任意兩個自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，做差后，應把差分解為幾個因式的乘積的形式，通過判斷每一個因式的正負，來判斷積的正負，最后的出結論．
解答：證明：設x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，1]，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2x₁^-1-2x₂^-1
=（）+2（）=（x₂-x₁）[-（x₁+x₂）]
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜2，
∴（x₂-x₁）[-（x₁+x₂）]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是減函數．
點評：本題主要考查了定義法證明函數的單調性，做題時應該嚴格按照步驟去做．屬于基礎題．