Question

宇宙深處有一顆美麗的行星，這個(gè)行星是一個(gè)半徑為r（r>0）的球。人們?cè)谛行潜砻娼�立了與地球表面同樣的經(jīng)緯度系統(tǒng)。已知行星表面上的A點(diǎn)落在北緯60°，東經(jīng)30°；B點(diǎn)落在東經(jīng)30°的赤道上；C點(diǎn)落在北緯60°，東經(jīng)90°。在赤道上有點(diǎn)P滿足PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離。

（1）求AC兩點(diǎn)間的球面距離；

（2）求P點(diǎn)的經(jīng)度；

（3）求AP兩點(diǎn)間的球面距離。

Answer 1

解：設(shè)球心為O，北緯60°圈所對(duì)應(yīng)的圓心為O’，

（1）那么OO’=。O’A=O’C=。又因?yàn)椤螦O’C=60°。

所以AC=。那么∠AOC=（）

兩點(diǎn)間的球面距離為（）

（2）PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離，所以PB=AB。

可知∠POB=∠AOB=60°，又P點(diǎn)在赤道上。所以P點(diǎn)的經(jīng)度為東經(jīng)90°或西經(jīng)30°。

（3）顯然P點(diǎn)的兩種可能對(duì)應(yīng)的AP間的球面距離相等。不妨P所在的經(jīng)度為東經(jīng)90°。

由條件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延長(zhǎng)BA與OO’交于D點(diǎn)，那么。而O’C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共線且。

可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。