Question

一直線與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別為α、β，則（　�。�

• A、α+β=

  π

  2

• B、0＜α+β＜

  π

  2

• C、

  π

  2

  ≤α+β＜π
• D、0≤α+β≤

  π

  2

Answer 1

分析：設(shè)線段AB夾在直二面角α-l-β內(nèi)，A∈α，B∈β，如果AB與平面α、β所成的角分別為α和β，過A在α內(nèi)做AC垂直于l于C點(diǎn)，過B在β內(nèi)做BD垂直于l于D點(diǎn)． 在β內(nèi)做BE平行l(wèi)，在β內(nèi)做CE平行BD，交點(diǎn)為E，連接AE，AD，BC，根據(jù)AD＞AC判斷∠ABC＜∠ABD，由于∠ABD+∠DAB=90°進(jìn)而知α+β＜90°，當(dāng)AB與l垂直時(shí)α+β=90° 當(dāng)AB與l平行時(shí)α+β=0，最后綜合答案可得．

解答：解：設(shè)線段AB夾在直二面角α-l-β內(nèi)，A∈α，B∈β，
如果AB與平面α、β所成的角分別為α和β，
過A在α內(nèi)做AC垂直于l于C點(diǎn)，過B在β內(nèi)做BD垂直于l于D點(diǎn)．
在β內(nèi)做BE平行l(wèi)，在β內(nèi)做CE平行BD，交點(diǎn)為E，連接AE，AD，BC
則∠DAB=α，∠ABC=β，sin∠ABC=

AC

AB

，sin∠DAB=

AD

AB

因?yàn)锳D＞AC，所以∠ABC＜∠ABD，
∠ABD+∠DAB=90°，所以α+β＜90°
當(dāng)AB與l垂直時(shí)α+β=90°
當(dāng)AB與l平行時(shí)α+β=0
∴0≤α+β≤90°
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是判斷出當(dāng)直線與兩面角的棱平行或垂直時(shí)的情況．