Question

（本小題滿分13分）對某校高一年級的學生參加社區(qū)服務的次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了下圖所示的頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖：

（I）求出表中M、p及圖中a的值
（II）學校決定對參加社區(qū)服務的學生進行表彰，對參加活動次數(shù)在［25，30］區(qū)間的每個學生發(fā)放價值80元的學習用品，對參加活動次數(shù)在［20,25）區(qū)間的每個學生發(fā)放價值60元的學習用品，對參加活動次數(shù)在［15,20）區(qū)間的每個學生發(fā)放價值40元的學習用品，對參加活動次數(shù)在［10,15）區(qū)間的每個學生發(fā)放價值20元的學習用品，在所抽取的這M名學生中，任意取出2人，設(shè)X為此二人所獲得學習用品價值之差的絕對值，求X的分布列與數(shù)學期望E（X）。

Answer 1

（I），，a為0.08
（II）的分布列為：

本試題主要是考查了直方圖的性質(zhì)的運用，以及分布列的求解和數(shù)學期望值的運算的綜合運用。
（1）利用直方圖中面積代表頻率可知，，，，又，
解得，，，，
故可知得到結(jié)論
（2）先分析隨機變量的取值情況，然后得到各個取值的概率值，進而結(jié)合古典概型得到概率值，得到分布列和期望值。
解（Ⅰ）由題可知，，，，又，
解得，，，，
故組的頻率與組距之比a為0.08．··················· 5分
（Ⅱ）可知X的值可能為0元、20元、40元、60元，·············· 6分
則，，
，.················ 10分
所以的分布列為：

	0	20	40	60
P

···································· 11分
．  13分