Question

在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD，E是PA中點(diǎn)，求E到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：先根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PBC內(nèi)一直線平行，而EF∥PB，又EF?平面PBC，PB?平面PBC證明EF∥平面PBC，再在面ABCD內(nèi)作過(guò)F作FH⊥BC于H，又EF∥平面PBC，故點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離FH．在直角三角形FBH中，求出FH即可，最后根據(jù)點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離即可求出所求．

解答： 解：∵AE=PE，AF=BF，
∴EF∥PB
又EF?平面PBC，PB?平面PBC，
故EF∥平面PBC
在面ABCD內(nèi)作過(guò)F作FH⊥BC于H
∵PC⊥面ABCD，PC?面PBC
∴面PBC⊥面ABCD
又面PBC∩面ABCD=BC，F(xiàn)H⊥BC，F(xiàn)H?面ABCD，∴FH⊥面PBC
又EF∥平面PBC，故點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離FH．
在直角三角形FBH中，∠FBC=120°，F(xiàn)B=

a

2

，F(xiàn)H=FBsin∠FBH=

3

4

a，
故點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離等于

3

4

a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及點(diǎn)到平面的距離，同時(shí)考查了空間想象能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．