Question

如圖所示，一塊橢圓形的鐵板Γ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4米，短軸長(zhǎng)2米．
（1）請(qǐng)你以短軸的端點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，另外兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)B，C都在橢圓鐵板的邊緣，截取等腰直角三角形，并求該三角形的面積（結(jié)果保留一位小數(shù)）；
（2）請(qǐng)你按（1）中所述的方法，再切割出一個(gè)面積不同的等腰直角三角形，
并求該三角形的面積（結(jié)果保留一位小數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，取AB所在直線斜率為1，則AC所在直線斜率為-1，寫出AB，AC所在直線方程后和橢圓方程聯(lián)立，分別求出B，C的橫坐標(biāo)，得到BC長(zhǎng)度，BC邊上的高等于BC的一半，由三角形的面積公式求得面積；
（2）設(shè)AB所在直線斜率為k，則AC所在直線斜率為-

1

k

，寫出AB，AC的方程，由弦長(zhǎng)公式求得|AB|，|AC|的長(zhǎng)度，由|AB|=AC|求出k的值，代入S△ABC=

1

2

|AB|•|AC|得三角形的面積．

解答：解：（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則橢圓方程為：

x2

4

+y2=1．
∵∠BAC=90°，設(shè)k_AB=1，k_AC=-1．
∴AB邊所在直線方程為：y=x+1，AC邊所在直線方程為y=-x+1．
聯(lián)立

y=x+1 x2 4 +y2=1

，得5x²+8x=0，解得x=0或x=-

8

5

．
∴點(diǎn)B橫坐標(biāo)為-

8

5

．
聯(lián)立

y=-x+1 x2 4 +y2=1

，得5x²-8x=0，解得x=0或x=

8

5

．
∴點(diǎn)C橫坐標(biāo)為

8

5

．
∴|AB|=

16

5

．
則等腰直角三角形ABC的面積為：S=

1

2

×

16

5

×

8

5

≈2.6；
（2）設(shè)AB所在的直線方程為：y=kx+1，則AC所在的直線方程為：y=-

1

k

x+1．
將AB所在的直線方程代入橢圓方程，得（1+4k²）x²+8kx=0．
可求得，|AB|=

1+k2

•

8|k|

1+4k2

同理可求得，|AC|=

1+( 1 k )2

•

8|k|

k2+4

．
不妨設(shè)k＞0，令|AB|=|AC|，得

1+k2

•

8k

1+4k2

=

1+( 1 k )2

•

8k

k2+4

，
即k³-4k²+4k-1=0，解得k=1或k=

3± 5

2

．      
當(dāng)k=1時(shí)，所截取等腰直角三角形面積為2.6平方米，為（1）中所求；
當(dāng)k=

3+ 5

2

時(shí)，代入S△ABC=

1

2

|AB|•|AC|得S_△ABC≈2.1．
所截取等腰直角三角形面積為2.1平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的應(yīng)用，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了弦長(zhǎng)公式的用法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．