Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

x2+x+a

，x∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞

1

4

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值．
（2）a＞

1

4

時(shí)，f′（x）=

ex(x2-x+a-1)

(x2+x+a)2

，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

ex(x2+x+1)-ex(2x+1)

(x2+x+1)2

=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

，
由f′（x）=0，得x=0或x=1，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（1，+∞），減區(qū)間是（0，1），
∴f（x）_極小值=f（1）=

e

3

，f（x）_極大值=f（0）=1．
（2）a＞

1

4

時(shí)，f′（x）=

ex(x2+x+a)-ex(2x+1)

(x2+x+a)2

=

ex(x2-x+a-1)

(x2+x+a)2

，
①當(dāng)

1

4

＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜

1- 5-4a

2

或x＞

1+ 5-4a

2

，
由f′（x）＜0，得

1- 5-4a

2

＜x＜

1+ 5-4a

2

，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，

1- 5-4a

2

），（

1+ 5-4a

2

，+∞），
減區(qū)間是（

1- 5-4a

2

，

1+ 5-4a

2

）；
②當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（1，+∞），減區(qū)間是（0，1）；
③當(dāng)1＜a＜

5

4

時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜

1- 5-4a

2

或x＞

1+ 5-4a

2

，
由f′（x）＜0，得

1- 5-4a

2

＜x＜

1+ 5-4a

2

，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，

1- 5-4a

2

），（

1+ 5-4a

2

，+∞），
減區(qū)間是（

1- 5-4a

2

，

1+ 5-4a

2

）；
④當(dāng)a≥

5

4

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）的增區(qū)間是（-∞，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的極值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．