Question

已知（2-

3

x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰，其中a₀，a₁，…a₅₀是常數(shù)，計算：
（1）a₀+a₁+a₂+…+a₅₀；
（2）a₀+a₂+…+a₅₀；
（3）a₁₀；
（4）（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+…+a₄₉）²．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,二項式系數(shù)的性質

專題：二項式定理

分析：（1）在所給的二項展開式中，令x=1，即可求得a₀+a₁+a₂+…+a₅₀ 的值．
（2）在所給的二項展開式中，令x=1，即可求得a₀-a₁+a₂ -a₃+…+a₅₀ 的值．
（3）a₁₀ 即（2-

3

x）⁵⁰的展開式中x¹⁰的系數(shù)，再利用通項公式求得 a₁₀ 的值．
（4）把（1）、（2）得到的等式相乘可得 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+…+a₄₉）² =（2-

3

）⁵⁰ •（2+

3

）⁵⁰=[(2-

3

)(2+

3

)]50，計算可得結果．

解答： 解：（1）在（2-

3

x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰ 中，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₅₀ =（2-

3

）⁵⁰ ①．
（2）在（2-

3

x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰ 中，令x=-1，可得a₀-a₁+a₂ -a₃+…+a₅₀ =（2+

3

）⁵⁰ ②，
把①、②相加并處以2，求得a₀+a₂+…+a₅₀ =

(2- 3 )50+(2+ 3 )50

2

 ③．
（3）a₁₀ 即（2-

3

x）⁵⁰的展開式中x¹⁰的系數(shù)，∴a₁₀=

C

10 50

•2⁴⁰•(-

3

)10．
（4）把①、②相乘可得，（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+…+a₄₉）² =（2-

3

）⁵⁰ •（2+

3

）⁵⁰=[(2-

3

)(2+

3

)]50=1．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，在二項展開式中，通過給變量賦值，求得某些項的系數(shù)和，是一種簡單有效的方法，屬于基礎題．