Question

已知函數(shù)f（x）=x-

2

x

+a（2-lnx）（a∈R），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，對a進(jìn)行分類，討論f′（x）的正負(fù)性，從而得出函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

x2-ax+2

x2

，
（1）當(dāng)a≤0時，f′(x)=

x2-ax+2

x2

＞0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)a＞0時，設(shè)g（x）=x²-ax+2（x＞0），則二次方程g（x）=0的判別式△=a²-8
①當(dāng)△=a²-8≤0，即a∈[0，2

2

]時，g（x）=x²-ax+2≥0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)△=a²-8＞0，即a∈（2

2

，+∞）時，二次方程g（x）=0有兩個不相同的實數(shù)根，記為x1=

a- a2-8

2

，x2=

a+ a2-8

2

，且x₂＞x₁＞0
結(jié)合函數(shù)g（x）的圖象可知，f（x）在區(qū)間（0，x₁）和（x₂，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（x₁，x₂）上是減函數(shù)．
綜上得：當(dāng)a∈（-∞，2

2

]時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a∈（2

2

，+∞）時，f（x）在（0，

a- a2-8

2

）和（

a+ a2-8

2

，+∞）上單調(diào)遞增，在（

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查了分類討論思想，二次方程根的問題，等價轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．