Question

在下列函數(shù)中：
①y=|x+

1

x

|； 
②y=log₂x+log_x2（x＞0，且x≠1）；
③y=3^x+3^-x；
④y=x+

4

x

-2； 
⑤y=

x

+

4

x

-2，
其中最小值為2的函數(shù)是

 

．（填入正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出x＞0時(shí)的函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)y=|x+

1

x

|的最小值判斷①； 
分x＞1和0＜x＜1分析函數(shù)y=log₂x+log_x2的值域情況判斷②；
直接利用基本不等式求函數(shù)的最小值判斷③⑤；
分x＞0和x＜0分析函數(shù)的值域情況判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，y=|x+

1

x

|為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立），
∴y=|x+

1

x

|的最小值為2； 
對(duì)于②，y=log₂x+log_x2，當(dāng)x＞1時(shí)，y≥2，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y=-（-log₂x-log_x2）≤-2；
對(duì)于③，y=3^x+3^-x=3x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)3x=

1

3x

，即x=0時(shí)等號(hào)成立；
對(duì)于④，y=x+

4

x

-2，當(dāng)x＜0時(shí)y＜0，函數(shù)的最小值不是2； 
對(duì)于⑤，y=

x

+

4

x

-2≥2

x • 4 x

-2=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

=

4

x

，即x=4時(shí)取等號(hào)．
∴最小值為2的函數(shù)是①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．