Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形．
（I） 求橢圓C₁的方程；
（II） 設(shè)點(diǎn)P是拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）與C₁的公共點(diǎn)，C₂在點(diǎn)P處的切線與C₁交于點(diǎn)另一點(diǎn)M．Q是P關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)，問中否存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C₁的方程；
（II）假設(shè)存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上，利用，，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）由題意，∵橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形
∴b=1，2•=1
∴a=2，b=1
∴所求的橢圓方程為，
（II）不妨設(shè)P（t，t²+h），M（x，y），則（t²+h）²+4t²-4=0（1）
假設(shè)存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上，則
∵
∴M（-t，-t²-h），∴2t=
∴h=t²＞0
代入（1）得h²+h-1=0
∴h=  
∴存在h=，使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的幾何性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求得橢圓的方程是關(guān)鍵．