Question

已知拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），直線：x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線的右側(cè)．
（Ⅰ）求證：直線與拋物線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（1，0），若直線與拋物線C的交點(diǎn)為Q，R，滿足，是否存在實(shí)數(shù)m，使得原點(diǎn)O到直線的距離不大于，若存在，求出正實(shí)數(shù)p的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）聯(lián)立x+y=m與y²=2px，證明△＞0，即可得到直線l與拋物線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)；    
（Ⅱ）根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理，求出p的表達(dá)式，利用原點(diǎn)O到直線l的距離不大于，確定m的范圍，由此可得正實(shí)數(shù)p的取值范圍．
解答：（Ⅰ）證明：由題知，
聯(lián)立x+y=m與y²=2px，消去x可得y²+2py-2pm=0…（*）
∵p＞0且，∴△=4p²+8pm＞0，
所以直線l與拋物線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)；                                 …4分
（Ⅱ）解：設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），由（*）可得y₁+y₂=-2p，y₁•y₂=-2pm
故

=2y₁y₂+（1-m）（y₁+y₂）+（m-1）²=m²-（2+2p）m+1-2p=0
∴
又由原點(diǎn)O到直線l的距離不大于，則有，
由（Ⅰ）有，即，結(jié)合，化簡該不等式得：5m²+2m+1＞0，恒成立，
∴，令t=m+1，則
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴
∴存在m且，實(shí)數(shù)p的取值范圍為．…10分．
點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定p的表達(dá)式是關(guān)鍵．