Question

設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)。

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有極值點，求的取值范圍及的極值點。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)時有極值點; 當(dāng)時，有惟一最小值點；當(dāng)時，有一個極大值點和一個極小值點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)在定義域上的單調(diào)性的方法，一是利用定義，二是利用導(dǎo)數(shù)，此題既有代數(shù)函數(shù)又有對數(shù)函數(shù)，顯然利用導(dǎo)數(shù)判斷，只需對求導(dǎo)，判斷的符號即可；（Ⅱ）求的極值，只需對求導(dǎo)即可，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值一般分為四個步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求出；③令，列表；④確定函數(shù)的極值．此題由（Ⅰ）得，當(dāng)時，函數(shù)無極值點，只需討論的情況，解的根，討論在范圍內(nèi)根的個數(shù)，從而確定的取值范圍及的極值點，值得注意的是，求出的根時，忽略討論根是否在定義域內(nèi)，而出錯．

試題解析：（Ⅰ）由題意知，的定義域為，　 ∴當(dāng)時，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時，函數(shù)無極值點，②時，有兩個相同的解，但當(dāng)時,，當(dāng)時，時，函數(shù)在上無極值點，③當(dāng)時，有兩個不同解，，時，，而,此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：當(dāng)時，有惟一極小值點 

ii)   當(dāng)時，0<<1，此時，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時，有一個極大值，和一個極小值點； 綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時有極值點; 當(dāng)時，有惟一最小值點；當(dāng)時，有一個極大值點和一個極小值點

考點：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，考查學(xué)生的基本推理能力及運算能力．