已知
a
，
b
，
c
是一個平面內(nèi)的三個向量，其中
a
=（1，2）
（1）若|
c
|=2
5
，
c
∥
a
，求
c
及
a
•
c
．
（2）若|
b
|=
5
2
，且
a
+2
b
與3
a
-
b
垂直，求
a
與
b
的夾角．
分析：（1）由向量
a
與
c
共線，把
c
用
a
的坐標和λ表示，然后由|
c
|=2
5
列式計算λ的值，則向量
c
的坐標可求，代入數(shù)量積的坐標表示可得答案；
（2）由
a
+2
b
與3
a
-
b
垂直得其數(shù)量積為0，展開后代入已知的模，則可求得
a
•
b
=-
5
2
．代入夾角公式即可得到答案．
解答：解（1）∵
c
∥
a
，
a
=(1，2)，設
c
=λ
a
=(λ，2λ)．
又∵|
c
|=2
5
，∴
λ2+4λ2=20，解得λ=±2．
當
c
、
a
同向時，
c
=(2，4)，此時
a
•
c
=1×2+2×4=10．
當
c
、
a
反向時，
c
=(-2，-4)，此時
a
•
c
=1×(-2)+2×(-4)=-10；
（2）∵(
a
+2
b
)•(3
a
+
b
)=0，
∴3
a
2+5
a
•
b
-2
b
2=0．
又|
a
|=
5
，|
b
|=
5
2
，所以3×5+5
a
•
b
-2×
5
4
=0
即
a
•
b
=-
5
2
．
設
a
與
b
的夾角為θ，則cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
-
5
2
5
•
5
2
=-1
∴θ=180°．
所以
a
與
b
的夾角為180°．
點評：本題考查了數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了向量的夾角及其求法，是中檔題．
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相關習題

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17、已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù)．
求證：三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知
a
⊥
b
，則
a
•(
b
+
c
)+
c•
(
b
-
a
)=
b
•
c
；
②A、B、M、N為空間四點，若
BA
，
BM
，
BN
不構成空間的一個基底，則A、B、M、N共面；
③已知
a
⊥
b
，則
a
，
b
與任何向量不構成空間的一個基底；
④已知{
a
，
b
，
c
}是空間的一個基底，則基向量
a
，
b
可以與向量
m
=
a
+
c
構成空間另一個基底．
正確命題個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

已知a、b、c是一個三角形的三邊，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)=－2∶7∶1，若這個三角形的周長是24cm．求a、b、c的長，并判斷這個三角形的形狀．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
，
b
，
c
是一個平面內(nèi)的三個向量，其中
a
=（1，2）
（1）若|
c
|=2
5
，
c
∥
a
，求
c
及
a
•
c
．
（2）若|
b
|=
5
2
，且
a
+2
b
與3
a
-
b
垂直，求
a
與
b
的夾角．

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