以下四個(gè)命題：
①平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)；
②拋物線(xiàn)y=ax2的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是
|a|
4
；
③直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=x1+x2+p；
④正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長(zhǎng)為4
3
p．其中正確命題的序號(hào)是
④
④
．
分析：對(duì)于①當(dāng)定點(diǎn)F正好在定直線(xiàn)l上時(shí)，平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線(xiàn)；
②先把拋物線(xiàn)方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得焦點(diǎn)坐標(biāo)．
③只有當(dāng)直線(xiàn)l是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=x1+x2+p才成立；
④設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （
m2
2p
， m），（
m2
2p
， -m），由 tan30°=
m
m2
2p
，解得 m的值．
解答：解：①當(dāng)定點(diǎn)F正好在定直線(xiàn)l上時(shí)，平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線(xiàn)；故錯(cuò)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，整理拋物線(xiàn)方程得x2=
1
a
y，p=
1
2a

∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (0，
1
4a
)，拋物線(xiàn)y=ax2的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是
1
4|a|
；故錯(cuò)；
③當(dāng)直線(xiàn)l不是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=x1+x2+p不成立，故③錯(cuò)；
④設(shè)正三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （
m2
2p
， m），（
m2
2p
， -m），由 tan30°=
3
3
=
m
m2
2p
，
解得 m=2
3
p，故這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為  2m=4
3
p，
故正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長(zhǎng)為4
3
p正確．
其中正確命題的序號(hào)是 ④．
故答案為：④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，利用拋物線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵．④直角三角形中的邊角關(guān)系，設(shè)出另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，是解題的突破口．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

16、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱AB、CC1的中點(diǎn)，△MB1P的頂點(diǎn)P在棱CC1與棱C1D1上運(yùn)動(dòng)，有以下四個(gè)命題：
①平面MB1P⊥ND1；②平面MB1P⊥平面ND1A1；③△MB1P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值；④△MB1P在側(cè)面D1C1CD上的射影圖形是三角形．
其中正確命題的序號(hào)是
②③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)命題：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=
12
時(shí)，四邊形MENF的面積最��；
③四邊形MENF周長(zhǎng)l=f（x），x∈0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C′-MENF的體積v=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中真命題的序號(hào)為
①②④
①②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA'，CC'的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)E，F(xiàn)的平面分別與棱BB'、DD'交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)命題：
①平面MENF⊥平面BDD'B'；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=
1
2
時(shí)，四邊形MENF的面積最�。�
③四邊形MENF周長(zhǎng)L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中假命題的序號(hào)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以下四個(gè)命題:

①如果平面α和平面β有公共點(diǎn),則只有一個(gè)公共點(diǎn);②不在同一條直線(xiàn)上的四點(diǎn),一定可以確定一個(gè)平面;③若一條直線(xiàn)與兩條平行線(xiàn)都相交,則這三條直線(xiàn)共面;④若四條線(xiàn)段按順序首尾相接,則所得的圖形必是平面圖形.其中正確的命題是(    )

A.僅①           B.僅②            C.僅③              D.僅③和④

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